Matematika sebagai Bahasa
Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian
makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang
matematika bersifat “artificial” yang baru menyampaikan arti setelah
sebuah makna diberikan kepadanya. Tanpa makna itu matematika hanya
merupakan kumpulan rumus-rumus yang mati. Bahasa verbal mempunyai
beberapa kekurangan yang sangat mengganggu. Untuk mengatasi kekurangan
yang terdapat dalam bahasa maka kita berpaling kepada matematika. Dalam
hal ini dapat kita katakan bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha
untuk menghilangkan sifat majemuk dan emosional dari bahasa verbal.
Lambang-lambang dari matematika dibuat secara artificial dan individual
yang merupakan perjanjian yang berlaku khusus untuk masalah yang kita
kaji. Sebuah objek yang sedang kita telaah dapat kita lambangkan dengan
apa saja yang sesuai dengan perjanjian kita. Pernyataan matematik
mempunyai sifat yang jelas, spesifik dan informatif dengan tidak
menimbulkan konotasi yang bersifat emosional.
B. Sifat Kuantitatif dari Matematika
Matematika mempunyai kelebihan dibandingkan dengan bahasa verbal.
Matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk
melakukan pengukuran. Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan pernyataan
yang bersifat kualitatif. Demikian juga maka penjelasan dan ramalan yang
diberikan oleh ilmu dalam bahasa verbal semuanya bersifat kualitatif.
Hal ini menyebabkan penjelasan dan ramalan dalam bahasa verbal tidak
bersifat eksak, menyebabkan daya prediktif dan kontrol ilmu kurang
cermat dan tepat. Untuk mengatasi masalah ini matematika mengembangkan
konsep pengukuran. Sifat kuantitatif dari matematika ini meningkatkan
daya prediktif dan kontrol dari ilmu. Ilmu memberikan jawaban yang
bersifat eksak yang memungkinkan pemecahan masalah secara lebih tepat
dan cermat. Matematika memungkinkan ilmu mengalami perkembangan dari
tahap kualitatif ke kuantitatif,. Perkembangan ini merupakan suatu hal
yang imperatif bila kita menghendaki daya prediksi dan kontrol yang
lebih tepat dan cermat dalam ilmu. Pada dasarnya matematika diperlukan
oleh semua disiplin keilmuan untuk meningkatkan daya prediksi dan
kontrol dari ilmu tersebut.
C. Matematika : Sarana Berfikir Deduktif
Matematika berfikir secara deduktif menemukan pengetahuan yang baru
berdasarkan premis-premis yang tertentu. Pengetahuan yang ditemukan ini
merupakan konsekuensi dari pernyataan-pernyataan ilmiah yang telah kita
temukan sebelumnya. Meskipun “tak pernah ada kejutan dalam logika” namun
pengetahuan yang didapat secara deduktif ini sangat berguna dan
memberikan kejutan yang sangat menyenangkan. Dari beberapa premis yang
telah diketahui kebenarannya dapat ditemukan pengetahuan-pengetahuan
lainnya yang memperkaya perbendaharaan ilmiah.
D. Perkembangan Matematika
Ditinjau dari perkembangannya maka ilmu dapat dibagi dalam tiga tahap yaitu:
- Sistematika
Pada tahap ini ilmu menggolong-golongkan objek empiris ke dalam
kategori-kategori tertentu. Penggolongan ini memungkinkan untuk
menemukan ciri-ciri yang bersifat umum dari anggota-anggota yang menjadi
kelompok tertentu. Ciri-ciri yang bersifat umum ini merupakan
pengetahuan bagi manusia dalam mengenali dunia fisik.2. Komparatif
Pada tahap ini mulai melakukan perbandingan antara objek yang satu
dengan objek yang lain, kategori yang satu dengan kategori yang lain,
dan seterusnya. Kemudian mulai mencari hubungan didasarkan perbandingan
antara di berbagai objek yang dikaji.
- Kuantitatif
Pada tahap ini mencari hubungan sebab akibat tidak lagi berdasarkan
perbandingan melainkan berdasarkan pengukuran yang eksak dari objek yang
sedang diselidiki. Bahasa verbal berfungsi baik dalam kedua tahap yang
pertama namun dalam tahap ini maka pengetahuan membutuhkan matematika.
Lambang-lambang matematika bukan hanya saja jelas namun juga eksak
dengan mengandung informasi tentang objek tertentu dalam dimensi-dimensi
pengukuran.
Di samping sebagai bahasa matematika berfungsi juga sebagai alat
berfikir. Ilmu merupakan pengetahuan yang mendasarkan kepada analisis
dalam menarik kesimpulan menurut suatu pola berpikir tertentu. Menurut
Wittgenstein, matematika adalah metode berpikir logis yang dalam
perkembangannya membutuhkan struktur analisis yang lebih sempurna.
Matematika pada garis besarnya merupakan pengetahuan yang disusun
secara konsisten berdasarkan logika deduktif. Tokohnya adalah Bertrand
Russell dan Whitehead serta Pierre devfermat (1601-1665). Tidak semua
ahli filsafat setuju dengan pernyataan bahwa matematika adalah
pengetahuan yang bersifat deduktif. Tokohnya adalah Immanuel Kant
(1724-1804)
Sejarah perkembangan matematika menurut Griffits dan Howson (1974) :
- Peradapan Mesir kuno dan daerah-daerah sekitar seperti Babylonia dan Mesopotamia
Zaman ini matematika telah digunakan dalam perdagangan, pertanian,
bangunan dan usaha mengontrol alam seperti banjir. Aspek estetik
dikembangkan dimana matematika merupakann kegiatan intelektual dalam
kegiatan berpikir yang kreatif. Hal yang sama juga berlangsung di
Babylonia dan Mesopotamia yang turut mengembangkan kegunaan praktis
dalam matematika. Dalam peradapan Yunani inilah yang meletakkan dasar
matematika sebagai cara berpikir rasional dengan menetapkan berbagai
langkah dan defenisi tertentu. Euclid pada 300 SM yang mengumpulkan
semua pengetahuan ilmu ukur dalam bukunya Element.
- Timur (Arab, India, Cina) tahun 1000
Zaman ini didapatkan angka nol dan cara penggunaan desimal serta
mengembangkan kegunaan praktis dari ilmu hitung dan aljabar yang telah
digunakan dalam transaksi pertukaran. Ditemukan diantaranya kalkulus
diferensial.
- Sistem matematika sebagai ilmu non euclid yang sudah dikemukakan
oleh Gauss (1977-1855) dikembangkan oleh Lobachevskii (1973-1856),
Bolyai (1802-1860) dan Riemann (1826-1866). Yang menemukan kegunaannya
pada waktu Einstein menyusun teori Relativitas.
E. Beberapa Aliran dalam Filsafat Matematika
- Logistik
Immanuel Kant (1724-1804), matematika bersifat sintetik apriori dimana eksistensi matematika bergantung dari pancaindera.
- Intuisionis
Jan brouwer (1881-1943), matematika cara berpikir logis yang salah
atau benarnya dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris.
- Formalis
Gottlob frege (1824-1925), menekankan pada aspek formal dari
matematika sebagai bahasa perlambang dan mengusahakan konsistensi dalam
penggunaan matematika sebagai bahasa lambang.
Perbedaan pandangan ini tidak melemahkan perkembangan matematika
malah sebaliknya dimana satu aliran memberi inspirasi kepada
aliran-aliran lainnya dalam titik-titik pertemuan yang disebut Black
yang memperkukuh matematika sebagai sarana berpikir deduktif.
F. Matematika dan Peradapan
Matematika dapat dikatakan hampir sama tuanya dengan peradapan
manusia itu sendiri. Sekitar 3.500 SM bangsa Mesir Kuno telah mempunyai
simbol-simbol yang melambangkan angka-angka. Matematika merupakan bahasa
artifisial yang dikembangkan untuk menjawab kekurangan bahasa verbal
yang bersifat alamiah. Untuk itu diperlukan usaha tertentu untuk
menguasai matematika dalam bentuk kegiatan belajar. Jurang antara mereka
yang belajar dengan yang tidak belajar ternyata makin lama makin lebar.
Matematika makin lama makin bersifat abstrak dan esoterik yang makin
jauh dari tangkapan orang awam.
Matematika tidak dapat dilepaskan dari perkembangan peradapan
manusia. Penduduk kota yang pertama adalah “makhluk yang berbicara” (
talking animal), dan penduduk kota yang kurun teknologi ini adalah “makhluk yang berhitung” (
calculating animal)
yang hidup dalam jaringan angka-angka, bagi ilmu itu sendiri matematika
meyebabkan perkembangan yang sangat cepat. Tanpa matematika maka
pengetahuan akan berhenti pada tahap kualitatif yang tidak memungkinkan
pada penalarannya lebih jauh.
Matematika sebagai suatu yamg imperatif : sebuah sarana untuk
meningkatkan kemampuan penalaran deduktif. Suatu bidang keilmuan, apapun
juga bidang pengkajiannya bila telah menginjak kedewasaan mau tidak mau
akan bersifat kuantitatif. Ketidaktahuan tentang matematika sering
menyebabkan suatu bidang keilmuan terpaku pada tahap kualitatif, dimana
tanpa mengurangi rasa penghargaan kepadanya, tetap merupakan bidang
keilmuan yang belum tumbuh sempurna. Angka tidak bertujuan untuk
menggantikan kata-kata, pengukuran sekedar unsur menjelaskan persoalan
yang menjadi pokok analisis utama. Teknik matematika yang tinggi bukan
merupaka penghalang untuk mengkomunikasikan pernyataan yang dikandungnya
dalam kalimat-kalimat yang sederhana. Kebenaran yang merupakan fundasi
dasar dari tiap pengetahuan, apakah itu ilmu, filsafat atau agama
semuanya mempunyai karakteristik yang sama: sederhana, jelas: transparan
bagai kristal kaca.
STATISTIKA
Peluang merupakan dasar dari teori statistik yang tidak dikenal dalam
pemikiran Yunani Kuno, Romawi dan bahkan Eropa pada abad pertengahan.
Konsep statistika sering dikaitkan dengan distribusi variabel yang
ditelaah dalam populasi tertentu.
A. Statistika dan Cara Berpikir Induktif
Ilmu secara sederhana didefenisikan sebagai pengetahuan yang telah
diuji kebenarannya. Semua pernyataan ilmiah bersifat faktual, dimana
konsikuensinya dapat diuji baik dengan jalan mempergunakan pancaindra
maupun alat-alat yang membantu pancaindra tersebut. Pengujian secara
empiris merupakan salah satu mata rantai dalam metode ilmiah yang
membedakan ilmu dari pengetahuan-pengetahuan lainnya. Kalau ditelaah
lebih dalam maka pengujian merupakan proses pengumpulan fakta yang
relevan dengan hipotesis yang diajukan. Jika hipotesis itu didukung oleh
fakta-fakta empiris maka peryataan tersebut diterima atau disahkan
kebenarannya. Sebaliknya jika hipotesis tersebut bertentangan dengan
kenyataan maka hipotesis itu ditolak.
Pengujian mengharuskan kita untuk menarik kesimpulan yang bersifat
umum dari kasus-kasus yang bersifat individual. Misalnya jika kita ingin
mengetahui berapa tinggi rata-rata anak umur 10 tahun di sebuah tempat
maka nilai tinggi rata-rata yang dimaksudkan itu merupakan kesimpulan
umum yang ditarik dalam kasus-kasus anak umur 10 tahun di tempat itu.
Jadi, dalam hal ini kita menarik kesimpulan berdasarkan logika deduktif.
Di pihak lain maka penyusunan hipotesis merupakan penarikan kesimpulan
yang bersifat khas dari pernyataan yang bersifat umum dengan menggunakan
deduksi. Logika deduktif berpaling kepada matematika sebagai sarana
penalaran penarikan kesimpulan sedangkan logika induktif berpaling
kepada statistika. Statistika merupakan pengetahuan untuk melakukan
penarikan kesimpulan induktif secara lebih seksama.
Penarikan kesimpulan induktif pada hakikatnya berbeda dengan
penarikan kesimpulan secara deduktif. Pada penalaran deduktif,
kesimpulan yang ditarik adalah benar jika premis-premis yang
dipergunakan adalah benar dan prosedur penarikan kesimpulannya adalah
sah. Pada penalaran induktif meskipun premis-premis yang dipergunakan
adalah benar dan prosedur penarikan kesimpulannya adalah sah maka
kesimpulan belum tentu benar.
Penarikan kesimpulan secara induktif menghadapkan kita kepada sebuah
permasalahan mengenai banyaknya kasus yang harus kita amati sampai
kepada suatu kesimpulan yang bersifat umum. Jika kita ingin mengetahui
berapa tinggi rata-rata anak umur 10 tahun di Indonesia maka hal yang
paling logis adalah dengan jalan melakukan pengukuran tinggi badan
terhadap seluruh anak umur 10 tahun di Indonesia. Pengumpulan data
seperti ini tidak diragukan lagi akan memberikan kesimpulan mengenai
tinggi rata-rata anak tersebut. Namun kegiatan seperti ini menghadapkan
kepada masalah lain yang tak kurang rumitnya, yakni dalam pelaksanaan
kegiatan seperti ini membutuhkan tenaga, biaya, dan waktu yang banyak
sekali.
Statistik memberikan solusi untuk persoalan itu dengan cara menarik
kesimpulan yang bersifat umum dengan jalan mengamati hanya sebagian dari
populasi yang bersangkutan. Statistik mampu memberikan secara
kuantitatif tingkat ketelitian dari kesimpulan yang ditarik tersebut,
yang pada pokoknya didasarkan pada asas yang sederhana, yakni makin
besar contoh yang diambil maka makin tinggi pula tingkat ketelitian
kesimpulan tersebut. Sebaliknya makin sedikit contoh yang diambil maka
makin rendah pula tingkat ketelitiannya.
B. Karakteristik Berpikir Induktif
Kesimpulan yang ditarik secara induktif belum tentu benar, meskipun
premis yang dipakai adalah benar dan penalaran induktifnya adalah sah.
logika induktif tidak memberikan kepastian namun sekedar tingkat peluang
bahwa premis-premis tertentu dapat ditarik. Jika selama bulan Oktober
dalam beberapa tahun yang lalu hujan selalu turun, maka tidak bisa
dipastikan bahwa selama bulan Oktober tahun ini akan turun hujan.
Kesimpulan yang dapat ditarik dalam hal ini hanyalah pengetahuan
mengenai tingkat peluang untuk hujan dalam tahun ini juga akan turun.
Statistik merupakan pengetahuan yang memungkinkan untuk menarik
kesimpulan secara induktif berdasarkan peluang tersebut. Dasar dari
teori statistik adalah teori peluang. Menurut bidang pengkajian
statistika dapat dibedakan sebagai statistika teoritis dan statistika
terapan. Statistika teoritis merupakan pengetahuan yang mengkaji
dasar-dasar teori statistika, dimulai dari penarikan contoh, distribusi,
penaksiran dan peluang. Statistika terapan merupakan penggunaan
statistika teoritis yang disesuaikan dengan bidang tempat penerapannya.
Di sini diterapkan bagaimana cara mengambil sebagian populasi sebagai
contoh, bagaimana cara menghitung rentangan kekeliruan dan tingkat
kekeliruan dan tingkat peluang, bagaimana menghitung harga rata-rata dan
sebagainya.
C. Statistika dan Tahap-tahap Metode Keilmuan
Statistika bukan merupakan sekumpulan pengetahuan mengenai obyek
tertentu melainkan merupakan sekumpulan metode dalam memperoleh
pengetahuan. Langkah-langkah yang lazim dipergunakan dalam kegiatan
keilmuwan yang dapat diperinci sebagai berikut:
- Observasi
Ilmuwan melakukan observasi mengenai apa yang terjadi, dia
mengumpulkan dan mempelajari fakta yang berhubungan dengan masalah yang
sedang diselidikinya.
- Hipotesis
Untuk menerangkan fakta yang diobservasi, dia merumuskan dugaannya
dalam sebuah hipotesis atau teori yang menggambarkan sebuah pola, yang
menurut anggapannya, ditemukan dalam data tersebut.
- Ramalan
Dari hipotesis atau teori maka dikembangkanlah deduksi. Deduksi ini,
jika teori yang dikemukakan itu memenuhi syarat, akan merupakan suatu
pengetahuan baru, yang belum diketahui sebelumnya secara empiris, tetapi
dideduksikan dari teori. Nilai dari suatu teori tergantung dari
kemampuannya untuk menghasilkan pengetahuan baru tersebut. Fakta baru
ini disebut ramalan, bukan dalam pengertian menujum hari depan, namun
menduga apa yang akan terjadi berdasarkan syarat-syarat tertentu.
- Pengujian kebenaran
Ilmuwan lalu mengumpulkan fakta untuk menguji kebenaran ramalan yang
dikembangkan dari teori. Mulai dari tahap ini maka keseluruhan
tahap-tahap sebelumnya berulang seperti sebuah siklus. Jika ternyata
teorinya didukung oleh data, maka teori tersebut mengalami pengujian
dengan lebi berat, dengan jalan membuat ramalan yang lebih spesifik dan
mempunyai jangkauan yang lebih jauh, dimana ramalan ini kebenarannya
diuji kembali.
D. Kegunaaan Statistika
Para statistisi memandang statistika mempunyai nilai guna sebagai berikut:
- Komunikasi ialah sebagai penghubung beberapa pihak yang menghasilkan
data statistika atau berupa analisa statistika, sehingga beberapa pihak
tersebut akan dapat mengambil keputusan melalui informasi tersebut.
- Deskripsi yaitu penyajian data dan mengilustrasikan data. Misalnya
mengukur hasil produksi, laporan hasil liputan berita, indeks harga
konsumen, laporan keuangan, tingkat inflasi, jumlah penduduk, hasil
pendapatan dan pengeluaran negara dan sebagainya.
- Regresi yaitu meramalkan pegaruh data yang satu dengan data yang
lainnya dan untuk mengantisipasi gejala-gejala yang akan datang.
- Korelasi yaitu untuk mencari kuatnya atau besarnya hubungan data dalam suatu penelitian.
- Komparasi yaitu membandingkan data dua kelompok atau lebih.
Filsafat Bahasa adalah ilmu gabungan antara linguistik dan filsafat. ... Letak perbedaan antara filsafat bahasa dengan linguistik adalah bahwa linguistik bertujuan mendapatkan kejelasan tentang bahasa. Linguistik mencari hakikat bahasa.